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가상 변위

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목차

1. 개요

가상 변위는 구속 조건을 만족하는 무한소 변위로, 역학 및 수학 분야에서 사용되는 개념이다. 좌표로 정의된 계에서 구속 조건이 주어질 때, 가상 변위는 해당 구속 조건을 만족하는 무한소의 변위를 의미한다. 가상 변위는 짜임새 공간의 접벡터로 볼 수 있으며, 변분의 개념과 밀접하게 연관되어 있다. 가상 변위는 자유 입자, 표면 위의 입자, 강체 회전 등 다양한 역학적 시스템에서 예시를 찾아볼 수 있다.

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가상 변위
개요
정의어떤 계(system)의 계에 작용하는 구속력에 의한 가상일이 0이 되는 변위이다.
상세 내용
비구속력constraint force)은 외부에서 가해지는 힘으로, 계의 총 에너지에 기여한다.
응용 분야정역학: 구조물의 안정성 분석
동역학: 운동 방정식 유도
유한 요소법: 복잡한 구조물의 변형 해석
참고 문헌
서적Leon A. Takhtajan, Classical Field Theory, Part 1. Classical Mechanics, Department of Mathematics, Stony Brook University, Stony Brook, NY, 2017
H. Goldstein, C. P. Poole, J. L. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, 2001, p. 16, ISBN 978-0-201-65702-9.
Bruce Torby, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, CBS College Publishing, United States of America, 1984, p. 263, ISBN 0-03-063366-4.

2. 정의

좌표 \{x_1,\dots,x_n\}으로 정의된 계가 다음 구속 조건을 만족한다고 하자.

:\mathbf f(x_1,\dots,x_n)=\mathbf{0}.

여기서 \mathbf f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^k는 구속 조건을 나타내는 함수다. 그렇다면 '''가상 변위''' \{\delta x_1,\dots,\delta x_n\}은 위의 구속 조건을 만족시키는 무한소의 변위다. 좀 더 엄밀하게, 매우 작은 양의 실수 \epsilon에 대하여, 만약 \mathbf f(x_1,\dots,x_n)=\mathbf0이라면, 다음을 만족한다.

:\mathbf f(x_1+\epsilon\delta x_1,x_2+\epsilon\delta x_2,\dots,x_n+\epsilon\delta x_n)=O(\epsilon^2).

구속 조건은 음함수 정리에 의하여 (국소적으로) 다양체를 정의하는데, 이는 짜임새 공간이라 불린다. 따라서 가상 변위는 짜임새 공간의 한 점에서의 접벡터, 즉 접다발의 원소로 볼 수 있다.

3. 표기법

M을 역학계의 위상 공간이라고 하고, t_0, t_1 \in \mathbb{R}를 시간, q_0, q_1 \in M, C^\infty[t_0, t_1]를 [t_0, t_1]에 대한 미분 가능한 함수로 구성하며,



P(M) = \{\gamma \in C^\infty([t_0,t_1], M) \mid \gamma(t_0)=q_0,\ \gamma(t_1)=q_1\}.



제약 조건 \gamma(t_0)=q_0, \gamma(t_1)=q_1은 예시로 제공된다. 실제로는 각 개별 시스템에 대해 개별적인 제약 조건 집합이 필요하다.

4. 변분

경로 \gamma \in P(M)와 \epsilon_0 > 0에 대해, \gamma의 변분(variation)은 모든 \epsilon \in [-\epsilon_0,\epsilon_0]에 대해 \Gamma(\cdot,\epsilon) \in P(M)이고 \Gamma(t,0) = \gamma(t)인 함수 \Gamma : [t_0,t_1] \times [-\epsilon_0,\epsilon_0] \to M이다. 변분 \Gamma에 해당하는 가상 변위(virtual displacement) \delta \gamma : [t_0,t_1] \to TM (TM은 M의 접다발)는 모든 t \in [t_0,t_1]에 접벡터를 할당한다.

\delta \gamma(t) = \left.\frac{d\Gamma(t,\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \in T_{\gamma(t)}M.

접사상의 관점에서,



\delta \gamma(t) = \Gamma^t_*\left(\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\right).



여기서 \Gamma^t_*: T_0[-\epsilon,\epsilon] \to T_{\Gamma(t,0)}M = T_{\gamma(t)}M는 \Gamma^t : [-\epsilon,\epsilon] \to M의 접사상이며, 여기서 \Gamma^t(\epsilon) = \Gamma(t,\epsilon)이고, \textstyle \frac{d}{d\epsilon}\Bigl|_{\epsilon = 0} \in T_0[-\epsilon,\epsilon].

5. 성질

좌표 표현. coordinate representation영어 }이 Mla 위의 임의의 좌표계에서 좌표이고 n = \dim Mla일 때, 다음이 성립한다.

:

\delta \gamma(t) = \sum^n_{i=1} \frac{d[q_i(\Gamma(t,\epsilon))]}{d\epsilon}\Biggl|_{\epsilon=0} \cdot \frac{d}{dq_i}\Biggl|_{\gamma(t)}.



어떤 시간 \taula에 대해 모든 \gamma \in P(M)la에 대해 \gamma(\tau)=\text{constla}이면, 모든 \gamma \in P(M)la에 대해 \delta \gamma (\tau) = 0la이다.

만약 이면, 이다.

6. 예시

이 절에서는 다양한 물리적 시스템에서 가상 변위의 예를 살펴본다.

6. 1. \mathbb{R}^3에서 자유 입자

\mathbb{R}^3에서 자유롭게 움직이는 단일 입자는 3개의 자유도를 갖는다. 구성 공간은 M = \mathbb{R}^3이고, P(M) = C^\infty([t_0,t_1], M)이다. 모든 경로 \gamma \in P(M)와 \gamma의 변분 \Gamma(t,\epsilon)에 대해, \epsilon \to 0일 때 \Gamma(t,\epsilon) = \gamma(t) + \sigma(t) \epsilon + o(\epsilon)를 만족하는 고유한 \sigma \in T_0\mathbb{R}^3가 존재한다.

정의에 의해,

:\delta \gamma (t) = \left.\left(\frac{d}{d\epsilon} \Bigl(\gamma(t) + \sigma(t)\epsilon + o(\epsilon)\Bigr)\right)\right|_{\epsilon=0}

이것은 다음을 유도한다.

:\delta \gamma (t) = \sigma(t) \in T_{\gamma(t)} \mathbb{R}^3.

6. 2. 표면 위의 자유 입자들

N개의 입자가 2차원 표면 S \subset \mathbb{R}^3 위에서 자유롭게 움직이는 경우, 2N개의 자유도를 갖는다. 이 때 구성 공간은 다음과 같다.

:M = \{(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N) \in \mathbb{R}^{3\, N} \mid \mathbf{r}_i \in \mathbb{R}^3;\ \mathbf{r}_i \neq \mathbf{r}_j\ \text{if}\ i \neq j\},

여기서 \mathbf{r}_i \in \mathbb{R}^3는 i번째 입자의 반경 벡터이다. 따라서 다음이 성립한다.

:

T_{(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)} M = T_{\mathbf{r}_1}S \oplus \ldots \oplus T_{\mathbf{r}_N}S,



모든 경로 \gamma \in P(M)은 각 개별 입자의 반경 벡터 \mathbf{r}_i를 사용하여 설명할 수 있다. 즉, 다음과 같다.

:\gamma (t) = (\mathbf{r}_1(t),\ldots, \mathbf{r}_N(t)).

이는 모든 \delta \gamma(t) \in T_{(\mathbf{r}_1(t), \ldots, \mathbf{r}_N(t))} M에 대해, 다음을 만족한다.

:\delta \gamma(t) = \delta \mathbf{r}_1(t) \oplus \ldots \oplus \delta \mathbf{r}_N(t),

여기서 \delta \mathbf{r}_i(t) \in T_{\mathbf{r}_i(t)} S.이다. 일부 저자는 이것을 다음과 같이 표현하기도 한다.

:

\delta \gamma = (\delta \mathbf{r}_1, \ldots , \delta \mathbf{r}_N).

6. 3. 고정점 주위로 회전하는 강체

고정된 점을 중심으로 회전하는 추가적인 제약 조건이 없는 강체는 3개의 자유도를 갖는다. 여기서의 구성 공간은 M = SO(3), 차원이 3인 특수 직교군 (또는 3차원 회전군)이며, P(M) = C^\infty([t_0,t_1], M). 모든 교대 행렬 3차원 행렬의 3차원 선형 공간을 나타내기 위해 표준 표기법 \mathfrak{so}(3) 을 사용한다. 지수 사상 \exp : \mathfrak{so}(3) \to SO(3)는 모든 경로 \gamma \in P(M),의 변형 \Gamma(t,\epsilon), 와 t \in [t_0,t_1],에 대해, \Theta^t(0) = 0이고, 모든 \epsilon \in [-\epsilon_0,\epsilon_0],에 대해 \Gamma(t,\epsilon) = \gamma(t)\exp(\Theta^t(\epsilon))를 만족하는 고유한 경로 \Theta^t \in C^\infty([-\epsilon_0, \epsilon_0], \mathfrak{so}(3)) 가 존재하도록 \epsilon_0 > 0의 존재를 보장한다. 정의에 따라, 어떤 함수 \sigma : [t_0,t_1]\to \mathfrak{so}(3),에 대해 \epsilon \to 0일 때 \Theta^t(\epsilon) = \epsilon\sigma(t) + o(\epsilon)이다.

참조

[1] 서적 Classical Field Theory http://www.math.ston[...] Department of Mathematics, Stony Brook University, Stony Brook, NY
[2] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
[3] 서적 Advanced Dynamics for Engineers CBS College Publishing


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